Արդյո՞ք թիվը իրերի հատկանիշ է
G. Frege. Die Grundlagen der Arithmetik (1884), §§ 21-25: Հայերեն թարգմանությունը եւ գերմաներեն բնագիրը:
Հայերեն
Թարգմանություն՝ © 2026 AGОULIS
Այս թարգմանության լրիվ կամ մասնակի վերարդադրման, պատճենաորման, մեջբերման դեպքում AGОULIS կայքին հղումը պարտադիր է:
Թարգմանությունը կատարվել է գերմաներեն բնագրից`
Model: GPT-5.6 Luna
Knowledge cutoff: February 16, 2026
Current date: August 28, 2026
խմբագրումներով (այդ թվում GPT-5.6 Luna-ի 25/08/2026 անգլերն թարգմանության հետ համեմատելով: Ջ. Օստինի 1950 թ. թարգմանությունը հանրային ասպարեզում հասանելի չէ:)
Արդյո՞ք թիվը արտաքին իրերի հատկանիշ է
§ 21. Փորձենք թիվը գոնե տեղադրել մեր հասկացական համակարգում։ Լեզվում թվերը սովորաբար հանդես են գալիս ածականի պես և որոշիչ կապակցության մեջ՝ այնպիսի բառերի նման, ինչպիսիք են «կոշտ», «ծանր», «կարմիր», որոնք նշանակում են արտաքին իրերի հատկություններ։ Ուստի բնականորեն հարց է առաջանում՝ արդյո՞ք առանձին թվերը նույնպես պետք է այդպես հասկանալ, և, համապատասխանաբար, արդյո՞ք թվի հասկացությունը կարելի է դասել գույնի հասկացության կողքին։
Թվում է՝ սա Մ. Կանտորի[1] տեսակետն է, երբ նա մաթեմատիկան անվանում է փորձառական գիտություն այնքանով, որքանով այն սկսում է արտաքին աշխարհի առարկաների դիտարկումից։ Թիվը ծագում է առարկաներից վերացարկելու միջոցով։
Է. Շրյոդերը[2] թիվը վերարտադրում, քաղում է իրականությունից՝ միավորները մեկերով ներկայացնելով։ Նա սա անվանում է թվի վերացարկում։ Նման ներկայացման ժամանակ միավորները պատկերվում են միայն իրենց քանակական բազմության առումով՝ անտեսելով իրերի բոլոր մյուս որոշումները, ինչպիսիք են գույնը և ձևը։ Այստեղ բազմաքանակությունը պարզապես թվի մեկ այլ անվանում է։
Այսպիսով, Շրյոդերը բազմաքանակությունը կամ թիվը դնում է գույնի և ձևի կողքին և այն համարում է իրերի հատկություն։
§ 22. Բաումանը[3] մերժում է այն միտքը, թե թվերը արտաքին իրերից վերացարկված հասկացություններ են. «Քանի որ արտաքին իրերը մեզ չեն ներկայացնում խիստ միավորներ, այլ ներկայացնում են սահմանազատված խմբեր կամ զգայական կետեր, մենք ազատ ենք այդ խմբերն ու կետերն ընդսմին որպես բազմություն դիտելու»։
Իրոք, մինչդեռ ես միայն ընկալման եղանակով ընդհանրապես չեմ կարող փոխել որևէ իրի գույնը կամ կարծրությունը, կարող եմ Իլիականը դիտել որպես մեկ բանաստեղծություն, որպես 24 երգ կամ որպես մեծ թվով տողեր։ Մի՞թե «1000 տերև» չենք ասում բոլորովին այլ իմաստով, քան «ծառի կանաչ տերևներ»։ Կանաչ գույնը վերագրում ենք յուրաքանչյուր տերևի, բայց ոչ 1000 թիվը։ Ծառի բոլոր տերևները կարող ենք միավորել «նրա սաղարթ» անվան տակ։
Սա նույնպես կանաչ է, բայց 1000 չէ։ Ուրեմն իրականում ո՞ւմ է պատկանում 1000 հատկությունը։ Առաջին հայացքից թվում է՝ ոչ առանձին տերևին, ոչ էլ ամբողջությանը. գուցե ընդհանրապես ոչ արտաքին աշխարհի իրերին։ Եթե ես որևէ մեկին մի քար տամ և ասեմ՝ «որոշիր դրա քաշը», ապա դրանով նրան տվել եմ նրա հետազոտության ամբողջ առարկան։
Բայց եթե նրա ձեռքը տամ խաղաթղթերի մի կապուկ և ասեմ՝ «որոշիր դրանց թիվը», նա չգիտի՝ արդյոք ես ուզում եմ իմանալ խաղաթղթերի թիվը, ամբողջական տուփերի թիվը, թե, օրինակ, սկատ խաղի միավորների թիվը։ Միայն նրան խաղաթղթերի կապուկը տալով՝ ես դեռ ամբողջությամբ չեմ որոշել նրա հետազոտության առարկան. պետք է ավելացնեմ մի բառ՝ «խաղաքարտ», «խաղ» կամ «միավոր»։
Չի կարելի նաև ասել, որ այստեղ տարբեր թվերը գոյություն ունեն կողք կողքի այնպես, ինչպես տարբեր գույները։ Գունավոր մակերեսի վրա կարող եմ մատնացույց անել առանց որևէ բառ ասելու, բայց նույնը չեմ կարող անել առանձին թվի նկատմամբ։ Եթե ես միևնույն իրն իրավամբ կարող եմ անվանել և՛ կանաչ, և՛ կարմիր, ապա դա նշան է, որ այդ իրը կանաչի իրական կրողը չէ։ Դրա իրական կրողին գտնում եմ միայն մի մակերեսի մեջ, որը միայն կանաչ է։
Նույն կերպ, այն առարկան, որին կարող եմ տարբեր թվեր վերագրել հավասարապես հիմնավորված, թվի իրական կրողը չէ։
Այսպիսով, գույնի և թվի միջև էական տարբերությունն այն է, որ մակերեսի կապույտ գույնը նրան է պատկանում անկախ մեր կամայականությունից։ Այն որոշակի լուսային ճառագայթներ անդրադարձնելու, իսկ մյուսները՝ քիչ թե շատ կլանելու կարողություն է, և մեր ընկալման եղանակը ոչինչ չի կարող փոխել դրանում։
Ի հակադրություն դրա՝ չեմ կարող ասել, որ խաղաթղթերի կապուկին ինքնին պատկանում է 1 կամ 100 թիվը կամ որևէ այլ թիվ, այլ միայն մեր կամայական ընկալման եղանակի նկատմամբ։ Եվ նույնիսկ այդ դեպքում դա այնպիսի բան չէ, որ թիվը պարզապես որպես հատկանիշ վերագրենք կապուկին։ Այն, ինչ մենք ուզում ենք անվանել ավարտուն խաղ, ակնհայտորեն կամայական պայմանավորվածություն է, իսկ խաղաթղթերի կապուկը դրա մասին ոչինչ չգիտի։
Սակայն, երբ այն դիտում ենք այս տեսանկյունից, գուցե հայտնաբերենք, որ կարող ենք այն անվանել երկու ավարտուն խաղատրցակ։ Եթե որեւէ մեկը չիմանա, թե ինչ ենք անվանում ավարտուն խաղատրցակ, հավանաբար որևէ այլ թիվ կգտներ, քան հենց երկուսը։
§ 23. Այն հարցին, թե ի՞նչն է թիվը՝ որպես հատկանիշ, կրողը Միլը[4] պատասխանում է հետևյալ կերպ.
«Թվի անվանումը նշանակում է մի հատկություն, որը պատկանում է այն իրերի ամբողջությանը, որը մենք անվանում ենք այդ անվամբ. և այդ հատկությունը այն բնորոշ եղանակն է, որով ամբողջությունը կազմված է կամ կարող է բաժանվել մասերի»։
Նախ և առաջ, «բնորոշ եղանակը» արտահայտության մեջ որոշյալ հոդի օգտագործումը սխալ է, քանի որ գոյություն ունեն շատ տարբեր եղանակներ, որոնցով կարելի է ամբողջությունը բաժանել, և չի կարելի ասել, որ դրանցից միայն մեկն է բնորոշ։ Օրինակ՝ ծղոտի մի կապոց կարելի է բաժանել այնպես, որ ամեն մի ցողուն կտրվի մասերի, կամ այնպես, որ այն բաժանվի առանձին ցողունների, կամ այնպես, որ դրանից երկու կապոց կազմվի։
Արդյո՞ք հարյուր ավազահատիկից կազմված կույտը կազմված է այնպես, ինչպես 100 ծղոտի ցողուններից կազմված կապոցը։ Եվ այնուամենայնիվ երկուսն էլ ունեն նույն թիվը։ «Մեկ ծղոտի ցողուն» արտահայտության մեջ «մեկ» թվային բառը, իհարկե, չի արտահայտում, թե այդ ցողունը ինչպես է կազմված բջիջներից կամ մոլեկուլներից։ Էլ ավելի մեծ դժվարություն է առաջացնում 0 թիվը։
Արդյո՞ք ծղոտի ցողունները պետք է անպայման կապոց կազմեն, որպեսզի հնարավոր լինի դրանք հաշվել։ Արդյո՞ք Գերմանական կայսրության կույրերը պետք է անպայման հավաքվեն մի ժողովի մեջ, որպեսզի «Գերմանական կայսրության կույրերի թիվը» արտահայտությունը իմաստ ունենա։ Արդյո՞ք հազար ցորենի հատիկները, ցանվելուց հետո, այլևս հազար ցորենի հատիկ չեն։ Իրականում գոյություն ունե՞ն թեորեմի ապացույցների կամ իրադարձությունների ամբողջություններ։ Եվ այնուամենայնիվ սրանք նույնպես կարելի է հաշվել։
Այս առումով միևնույն է՝ իրադարձությունները տեղի են ունենում միաժամանակ, թե իրարից բաժանված են հազարավոր տարիներով։
§ 24. Սրանով գտանք ևս մեկ պատճառ, թե ինչու թիվը չպետք է դասել գույնի և կարծրության կողքին. դա թվի անհամեմատ ավելի լայն կիրառելիություն է։
Միլը[5] կարծում է, որ այն ճշմարտությունը, թե մասերից կազմված ամեն ինչ կազմված է նաև այդ մասերի մասերից, վերաբերում է բնության բոլոր երևույթներին, քանի որ ամեն ինչ կարելի է հաշվել։ Բայց մի՞թե չի կարելի հաշվել շատ ավելին։ Լոքն[6] ասում է. «Թիվը կիրառելի է մարդկանց, հրեշտակների, գործողությունների, մտքերի, գոյություն ունեցող կամ պատկերացվող ամեն ինչի նկատմամբ»։
Լայբնիցը[7] մերժում է սխոլաստիկների այն կարծիքը, թե թիվը կիրառելի չէ աննյութական իրերի նկատմամբ, և թիվը որոշ իմաստով անվանում է աննյութական պատկեր, որն առաջանում է որևէ իրերի միավորումից, օրինակ՝ Աստծուց, հրեշտակից, մարդուց և շարժումից, որոնք միասին չորս են։ Հետևաբար, նրա կարծիքով, թիվը միանգամայն ընդհանուր բան է և պատկանում է մետաֆիզիկային։
Մեկ այլ տեղում[8] նա ասում է. «Կշռել հնարավոր չէ այն, ինչը ուժ և կարողություն չունի. իսկ այն, ինչը մասեր չունի, համապատասխանաբար չափ չունի. բայց չկա ոչինչ, ինչի նկատմամբ թիվը կիրառելի չլինի։ Այսպիսով, թիվը կարծես մետաֆիզիկական պատկեր է»։
Իրոք, զարմանալի կլիներ, եթե արտաքին իրերից վերացարկված որևէ հատկություն առանց իմաստի փոփոխության փոխանցվեր իրադարձություններին, պատկերացումներին և հասկացություններին։ Դա նույնքան կլիներ, որքան եթե խոսեինք հալվող իրադարձության, կապույտ պատկերացման, աղի հասկացության կամ կպչուն դատողության մասին։
Անիմաստ է ենթադրել, որ անզգայականի մեջ կարող է առկա լինել այն, ինչը իր բնույթով զգայական է։ Երբ տեսնում ենք կապույտ մակերես, ունենում ենք յուրահատուկ տպավորություն, որը համապատասխանում է «կապույտ» բառին, և այդ տպավորությունը ճանաչում ենք, երբ տեսնում ենք մեկ այլ կապույտ մակերես։
Եթե ենթադրենք, որ նույն կերպ եռանկյունին տեսնելիս «երեք» բառին համապատասխանում է ինչ-որ զգայական բան, ապա մենք պետք է նույնը գտնենք նաև երեք հասկացությունների մեջ. անզգայականը կունենար իր մեջ զգայական ինչ-որ բան։ Կարելի է ընդունել, որ «եռանկյունաձև» բառին համապատասխանում է զգայական տպավորությունների մի տեսակ, բայց այդ դեպքում պետք է բառը վերցնել ամբողջությամբ։
Եռյակը դրանում անմիջականորեն չենք տեսնում. մենք տեսնում ենք ինչ-որ բան, որի վրա կարող է հիմնվել մտավոր գործունեություն, որը հանգեցնում է այնպիսի դատողության, որում 3 թիվը հանդես է գալիս։ Իսկ ինչո՞վ ենք, օրինակ, ընկալում Արիստոտելի ներկայացրած տրամաբանական եզրահանգումների ձևերի թիվը։ Աչքերո՞վ։ Մենք առավելագույնը տեսնում ենք այդ եզրահանգման ձևերի որոշ նշաններ, ոչ թե հենց ձևերը։
Ինչպե՞ս կարող ենք տեսնել դրանց թիվը, եթե դրանք իրենք անտեսանելի են։ Բայց գուցե կարելի է ասել, որ բավական է տեսնել նշանները. դրանց թիվը հավասար է եզրահանգման ձևերի թվին։ Իսկ որտեղի՞ց գիտենք դա։ Դրա համար մենք արդեն պետք է վերջինը որոշած լինեինք մեկ այլ եղանակով։
Կամ գուցե «եզրահանգման ձևերի թիվը չորս է» նախադասությունը պարզապես մեկ այլ արտահայտություն է «եզրահանգման ձևերի նշանների թիվը չորս է» նախադասության համար։ Ո՛չ։ Այստեղ ոչինչ չի ասվում նշանների մասին. նշանները ոչ ոքի չէին հետաքրքրի, եթե դրանց հատկությունը միաժամանակ չարտահայտեր այն բանի հատկությունը, ինչը նրանք նշանակում են։ Քանի որ նույն բանը, առանց տրամաբանական սխալի, կարող է ունենալ տարբեր նշաններ, նշանների թիվը նույնիսկ պարտադիր չէ, որ համընկնի նշանավորվող բաների թվի հետ։
§ 25. Միլի համար թիվը ֆիզիկական ինչ-որ բան է, մինչդեռ Լոքի և Լայբնիցի համար այն գոյություն ունի միայն որպես գաղափար։ Իրոք, ինչպես ասում է Միլը[9], երկու խնձորները ֆիզիկապես տարբեր են երեք խնձորներից, երկու ձիերը՝ մեկ ձիուց. սա տեսանելի և շոշափելիորեն տարբեր երևույթներ[10] են։ Բայց արդյո՞ք դրանից պետք է հետևի, որ երկվությունը և եռությունը նույնպես ֆիզիկական բան են։ Կոշիկների մի զույգը կարող է լինել ճիշտ նույն տեսանելի և շոշափելի երևույթը, ինչ երկու կոշիկները։
Այստեղ մենք ունենք թվային տարբերություն, որին ոչ մի ֆիզիկական տարբերություն չի համապատասխանում. քանի որ «երկու» և «մեկ զույգ» ամենևին նույնը չեն, ինչպես Միլը, թվում է թե, տարօրինակ կերպով կարծում է։ Եվ վերջապես, ինչպե՞ս է հնարավոր, որ երկու հասկացությունները ֆիզիկապես տարբերվեն երեք հասկացություններից։
Այսպես, Բերքլին[11] ասում է. «Պետք է նկատել, որ թիվը ոչ մի հաստատուն և որոշակի բան չէ, որը իրականում գոյություն ունի հենց իրերի մեջ։ Այն տակավին մտավոր կառույց է, երբ միտքը դիտում է կամ առանձին գաղափար, կամ գաղափարների միակցություն, որին ցանկանում է անուն տալ և դրանով այն ընդունել որպես մեկ միավոր։ Կախված այն բանից, թե ինչպես են միտքում փոփոխվում գաղափարների միավորումները, փոխվում են միավորները, և ինչպես փոխվում է միավորը, այնպես էլ փոխվում է թիվը, որը միայն միավորների հավաքածու է։
Մեկ պատուհան = 1. Մի տուն, որի մեջ բազմաթիվ պատուհաններ կան, = 1. Բազմաթիվ տներ կազմում են մեկ քաղաք»։
[1] Grundzüge einer Elementarmathematik, S. 2, § 4. Aehnlich Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bonn 1877, S. 1.
[2] Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz. 1873, S. 6, 10 u. 11.
[3] Julius Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik in der neueren Philosophie nach ihrem ganzen Einfluss dargestellt und beurtheilt, 2 Bde. (Berlin: G. Reimer, 1868–1869), Bd. II, S. 669.
[4] John Stuart Mill, A System of Logic, Ratiocinative and Inductive, bk. 3, chap. 24, §5.
[5] Mill, A System of Logic, bk. 3, chap. 24, §5.
[6] Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik, 1:409.
[7] Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik, 2:56.
[8] Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik, 2:2.
[9] Mill, A System of Logic, bk. 3, chap. 24, §5.
[10] Խստորեն ասած, պետք է ավելացնել. «հենց որ դրանք ընդհանրապես երևույթ դառնան»։ Եթե մեկը մեկ ձի ունի Գերմանիայում և մեկը Ամերիկայում (և ոչ մի այլ տեղ), ապա նա ունի երկու ձի։ Սակայն դրանք երևույթ չեն կազմում. միայն յուրաքանչյուր ձին առանձին կարելի է այդպես անվանել։
[11] Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik, 2:428
Գերմաներեն
Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äussern Dinge?
§ 21. Versuchen wir wenigstens der Anzahl ihre Stelle unter unsern Begriffen anzuweisen! In der Sprache erscheinen Zahlen meistens in adjectivischer Form und in attributiver Verbindung ähnlich wie die Wörter hart, schwer, roth, welche Eigenschaften der äusseren Dinge bedeuten. Es liegt die Frage nahe, ob man die einzelnen Zahlen auch so auffassen müsse, und ob demgemäss der Begriff der Anzahl etwa mit dem der Farbe zusammengestellt werden könne.
Dies scheint die Meinung von M. Cantor33 zu sein, wenn er die Mathematik eine Erfahrungswissenschaft nennt, insofern sie von der Betrachtung von Objecten der Aussenwelt ihren Anfang nehme. Nur durch Abstraction von Gegenständen entstehe die Zahl.
E. Schröder34 lässt die Zahl der Wirklichkeit nachgebildet, aus ihr entnommen werden, indem die Einheiten durch Einer abgebildet würden. Dies nennt er Abstrahiren der Zahl. Bei dieser Abbildung würden die Einheiten nur in Hinsicht ihrer Häufigkeit dargestellt, indem von allen[28] andern Bestimmungen der Dinge als Farbe, Gestalt abgesehen werde. Hier ist Häufigkeit nur ein anderer Ausdruck für Anzahl. Schröder stellt also Häufigkeit oder Anzahl in eine Linie mit Farbe und Gestalt und betrachtet sie als eine Eigenschaft der Dinge.
§ 22. Baumann35 verwirft den Gedanken, dass die Zahlen von den äussern Dingen abgezogene Begriffe seien: »Weil nämlich die äussern Dinge uns keine strengen Einheiten darstellen; sie stellen uns abgegränzte Gruppen oder sinnliche Punkte dar, aber wir haben die Freiheit, diese selber wieder als Vieles zu betrachten«. In der That, während ich nicht im Stande bin, durch blosse Auffassungsweise die Farbe eines Dinges oder seine Härte im Geringsten zu verändern, kann ich die Ilias als Ein Gedicht, als 24 Gesänge oder als eine grosse Anzahl von Versen auffassen. Spricht man nicht in einem ganz andern Sinne von 1000 Blättern als von grünen Blättern des Baumes? Die grüne Farbe legen wir jedem Blatte bei, nicht so die Zahl 1000. Wir können alle Blätter des Baumes unter dem Namen seines Laubes zusammenfassen. Auch dieses ist grün, aber nicht 1000. Wem kommt nun eigentlich die Eigenschaft 1000 zu? Fast scheint es weder dem einzelnen Blatte noch der Gesammtheit; vielleicht gar nicht eigentlich den Dingen der Aussenwelt? Wenn ich jemandem einen Stein gebe mit den Worten: bestimme das Gewicht hiervon, so habe ich ihm damit den ganzen Gegenstand seiner Untersuchung gegeben. Wenn ich ihm aber einen Pack Spielkarten in die Hand gebe mit den Worten: bestimme die Anzahl hiervon, so weiss er nicht, ob ich die Zahl der Karten oder der vollständigen Spiele oder etwa der Wertheinheiten beim Skatspiele erfahren will. Damit, dass ich ihm den Pack in die Hand gebe, habe ich ihm den Gegenstand seiner Untersuchung noch nicht vollständig gegeben; ich muss ein Wort:[29] Karte, Spiel, Wertheinheit hinzufügen. Man kann auch nicht sagen, dass die verschiedenen Zahlen hier so wie die verschiedenen Farben neben einander bestehen. Auf die einzelne farbige Fläche kann ich hindeuten, ohne ein Wort zu sagen, nicht so auf die einzelne Zahl. Wenn ich einen Gegenstand mit demselben Rechte grün und roth nennen kann, so ist das ein Zeichen, dass dieser Gegenstand nicht der eigentliche Träger des Grünen ist. Diesen habe ich erst in einer Fläche, die nur grün ist. So ist auch ein Gegenstand, dem ich mit demselben Rechte verschiedene Zahlen zuschreiben kann, nicht der eigentliche Träger einer Zahl.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen Farbe und Anzahl besteht demnach darin, dass die blaue Farbe einer Fläche unabhängig von unserer Willkühr zukommt. Sie ist ein Vermögen, gewisse Lichtstrahlen zurückzuwerfen, andere mehr oder weniger zu verschlucken, und daran kann unsere Auffassung nicht das Geringste ändern. Dagegen kann ich nicht sagen, dass dem Pack Spielkarten die Anzahl 1 oder 100 oder irgend eine andere an sich zukomme, sondern höchstens in Bezug auf unsere willkührliche Auffassungsweise, und dann auch nicht so, dass wir ihm die Anzahl einfach als Praedicat beilegen könnten. Was wir ein vollständiges Spiel nennen wollen, ist offenbar eine willkührliche Festsetzung und der Pack Spielkarten weiss nichts davon. Indem wir ihn aber in dieser Hinsicht betrachten, entdecken wir vielleicht, dass wir ihn zwei vollständige Spiele nennen können. Jemand, der nicht wüsste, was man ein vollständiges Spiel nennt, würde wahrscheinlich irgend eine andere Anzahl eher an ihm herausfinden, als grade die Zwei.
§ 23. Die Frage, wem die Zahl als Eigenschaft zukomme, beantwortet Mill36 so:
»Der Name einer Zahl bezeichnet eine Eigenschaft, die dem Aggregat von Dingen angehört, welche wir mit[30] dem Namen benennen; und diese Eigenschaft ist die charakteristische Weise, in welcher das Aggregat zusammengesetzt ist oder in Theile zerlegt werden kann.«
Hier ist zunächst der bestimmte Artikel in dem Ausdrucke »die charakteristische Weise« ein Fehler; denn es giebt sehr verschiedene Weisen, wie man ein Aggregat zerlegen kann, und man kann nicht sagen, dass Eine allein charakteristisch wäre. Ein Bündel Stroh kann z. B. so zerlegt werden, dass man alle Halme durchschneidet, oder so, dass man es in einzelne Halme auflöst, oder so dass man zwei Bündel daraus macht. Ist denn ein Haufe von hundert Sandkörnern ebenso zusammengesetzt wie ein Bündel von 100 Strohhalmen? und doch hat man dieselbe Zahl. Das Zahlwort »Ein« in dem Ausdruck »Ein Strohhalm« drückt doch nicht aus, wie dieser Halm aus Zellen oder aus Molekeln zusammengesetzt ist. Noch mehr Schwierigkeit macht die Zahl 0. Müssen denn die Strohhalme überhaupt ein Bündel bilden, um gezählt werden zu können? Muss man die Blinden im Deutschen Reiche durchaus in einer Versammlung vereinigen, damit der Ausdruck »Zahl der Blinden im Deutschen Reiche« einen Sinn habe? Sind tausend Weizenkörner, nachdem sie ausgesäet sind, nicht mehr tausend Weizenkörner? Giebt es eigentlich Aggregate von Beweisen eines Lehrsatzes oder von Ereignissen? und doch kann man auch diese zählen. Dabei ist es gleichgiltig, ob die Ereignisse gleichzeitig oder durch Jahrtausende getrennt sind.
§ 24. Damit kommen wir auf einen andern Grund, die Zahl nicht mit Farbe und Festigkeit zusammenzustellen: die bei weitem grössere Anwendbarkeit.
Mill37 meint, die Wahrheit, dass, was aus Theilen zusammengesetzt ist, aus Theilen dieser Theile zusammengesetzt ist, sei von allen Naturerscheinungen giltig, weil[31] alle gezählt werden könnten. Aber kann nicht noch weit mehr gezählt werden? Locke38 sagt: »Die Zahl findet Anwendung auf Menschen, Engel, Handlungen, Gedanken, jedes Ding, das existirt oder vorgestellt werden kann«. Leibniz39 verwirft die Meinung der Scholastiker, dass die Zahl auf unkörperliche Dinge unanwendbar sei, und nennt die Zahl gewissermaassen eine unkörperliche Figur, entstanden aus der Vereinigung irgendwelcher Dinge, z. B. Gottes, eines Engels, eines Menschen, der Bewegung, welche zusammen vier sind. Daher, meint er, ist die Zahl etwas ganz Allgemeines und zur Metaphysik gehörig. An einer andern Stelle40 sagt er: »Gewogen kann nicht werden, was nicht Kraft und Vermögen hat; was keine Theile hat, hat demgemäss kein Maass; aber es giebt nichts, was nicht die Zahl zulässt. So ist die Zahl gleichsam die metaphysische Figur«.
Es wäre in der That wunderbar, wenn eine, von äussern Dingen abstrahirte Eigenschaft, auf Ereignisse, auf Vorstellungen, auf Begriffe ohne Aenderung des Sinnes übertragen werden könnte. Es wäre grade so, als ob man von einem schmelzbaren Ereignisse, einer blauen Vorstellung, einem salzigen Begriffe, einem zähen Urtheile reden wollte.
Es ist ungereimt, dass an Unsinnlichem vorkomme, was seiner Natur nach sinnlich ist. Wenn wir eine blaue Fläche sehen, so haben wir einen eigenthümlichen Eindruck, der dem Worte »blau« entspricht; und diesen erkennen wir wieder, wenn wir eine andere blaue Fläche erblicken. Wollten wir annehmen, dass in derselben Weise beim Anblick eines Dreiecks etwas Sinnliches dem Worte »drei« entspräche, so müssten wir dies auch in drei Begriffen wiederfinden; etwas Unsinnliches würde etwas Sinnliches an sich haben.[32] Man kann wohl zugeben, dass dem Worte »dreieckig« eine Art sinnlicher Eindrücke entspreche, aber man muss dabei dies Wort als Ganzes nehmen. Die Drei darin sehen wir nicht unmittelbar; sondern wir sehen etwas, woran eine geistige Thätigkeit anknüpfen kann, welche zu einem Urtheile führt, in dem die Zahl 3 vorkommt. Womit nehmen wir denn etwa die Anzahl der Schlussfiguren wahr, die Aristoteles aufstellt? etwa mit den Augen? wir sehen höchstens gewisse Zeichen für diese Schlussfiguren, nicht sie selbst. Wie sollen wir ihre Anzahl sehen können, wenn sie selbst unsichtbar bleiben? Aber, meint man vielleicht, es genügt, die Zeichen zu sehen; deren Zahl ist gleich der Zahl der Schlussfiguren. Woher weiss man denn das? Dazu muss man doch schon auf andere Weise die letztere bestimmt haben. Oder ist der Satz »die Anzahl der Schlussfiguren ist vier« nur ein anderer Ausdruck für »die Anzahl der Zeichen der Schlussfiguren ist vier«? Nein! von den Zeichen soll nichts ausgesagt werden; von den Zeichen will niemand etwas wissen, wenn nicht deren Eigenschaft zugleich eine des Bezeichneten ausdrückt. Da ohne logischen Fehler dasselbe verschiedene Zeichen haben kann, braucht nicht einmal die Zahl der Zeichen mit der des Bezeichneten übereinzustimmen.
§ 25. Während für Mill die Zahl etwas Physikalisches ist, besteht sie für Locke und Leibniz nur in der Idee. In der That sind, wie Mill41 sagt, zwei Aepfel von drei Aepfeln, zwei Pferde von einem Pferd physikalisch verschieden, ein davon verschiedenes sichtliches und fühlbares Phänomen42. Aber ist daraus zu schliessen, dass die[33] Zweiheit, Dreiheit, etwas Physikalisches ist? Ein Paar Stiefel kann dieselbe sichtbare und fühlbare Erscheinung sein, wie zwei Stiefel. Hier haben wir einen Zahlenunterschied, dem kein physikalischer entspricht; denn zwei und Ein Paar sind keineswegs dasselbe, wie Mill sonderbarer Weise zu glauben scheint. Wie ist es endlich möglich, dass sich zwei Begriffe von drei Begriffen physikalisch unterscheiden?
So sagt Berkeley43: »Es ist zu bemerken, dass die Zahl nichts Fixes und Festgestelltes ist, was realiter in den Dingen selber existirte. Sie ist gänzlich Geschöpf des Geistes, wenn er entweder eine Idee an sich oder eine Combination von Ideen betrachtet, der er einen Namen geben will und sie so für eine Einheit gelten lässt. Jenachdem der Geist seine Ideen variirend combinirt, variirt die Einheit, und wie die Einheit so variirt auch die Zahl, welche nur eine Sammlung von Einheiten ist. Ein Fenster = 1; ein Haus, in dem viele Fenster sind, = 1; viele Häuser machen Eine Stadt aus.«
Comments