Ձեւական իմաստաբանություն
(տարբերակ 0.1)
Բովանդակություն
There is in my opinion no important theoretical difference between natural languages and the artificial languages of logicians; indeed I consider it possible to comprehend the syntax and semantics of both kinds of languages with a single natural and mathematically precise theory. (Montague 1970, 373)
Լյամբդա հաշվարկը
λ-հաշվարկը (λ-calculus) հաշվողական գիտությունների, մաթեմատիկական տրամաբանության եւ լեզվաբանական իմաստաբանության հիմնարար ձեւական համակարգն է, որը 1930-ականներին ստեղծել է ամերիկացի մաթեմատիկոս Ալոնզո Չըրչը։ Այն սահմանում է հաշվարկելիությունը ֆունկցիաների կիրառման եւ փոփոխականների կապակցման (binding) միջոցով։ λ-հաշվարկը եւ Թյուրինգի մեքենան համարժեք համակարգեր են:
Լյամբդա հաշվարկը հաշվողական գիտություններում
Հաշվողական գիտություններում λ-հաշվարկը ֆունկցիոնալ ծրագրավորման տեսական հիմքն է։ Այն հանդիսանում է Թյուրինգ-լրիվ համակարգ, սակայն մեքենայական հրամանների փոխարեն հիմնված է մաթեմատիկական ֆունկցիաների վրա։
1.Ֆունկցիոնալ ծրագրավորում: Այնպիսի լեզուներ, ինչպիսիք են Haskell-ը, Lisp-ը, OCaml-ը, ուղղակիորեն հիմնված են λ-հաշվարկի վրա: Ժամանակակից հրահանգային/օբյեկտ-կողմնորոշված լեզուները (Python, JavaScript, C++, Java) ներառում են «լյամբդա ֆունկցիաներ» (անանուն ֆունկցիաներ)։
2.Ծրագրավորման լեզուների իմաստաբանություն: Օգտագործվում է ծրագրավորման լեզուների վարքագիծը եւ կոդի ճշտությունը մաթեմատիկորեն ապացուցելու համար (օրինակ՝ դենոտացիոն սեմանտիկայում):
3.Տիպերի տեսություն (Type Theory): Տիպավորված λ-հաշվարկը (typed λ-calculus) հիմք է հանդիսանում թեորեմների ավտոմատացված ապացույցներ կառուցող համակարգերի (Coq, Lean), ինչպես նաեւ ժամանակակից շարակապիչներում (compiler) տիպերի ստուգման համար:
Լյամբդա հաշվարկը իմաստաբանությունում
Ինչո՞ւմն է ձեւական իմաստաբանության կապը λ-հաշվարկի հետ: Մաքուր λ-հաշվարկում λ-արտահայտությունը ներկայացնում է անանուն ֆունկցիա։ Ձեւական իմաստաբանությունն ուղղակիորեն կիրառում է այն բառերի իմաստը ներկայացնելու համար։
Ձեւական լեզվաբանության եւ բնական լեզվի իմաստաբանության մեջ (առաջին հերթին Մոնտեգյուի իմաստաբանությունում) λ-հաշվարկն օգտագործվում է բնական լեզվի նախադասությունների իմաստը մոդելավորելու համար: Նախադասության իմաստը հաշվարկվում է բաղադրիչ բարերի իմաստների համակցության միջոցով:
· Բաղադրյալություն (Compositionality): Ըստ Ֆրեգեի սկզբունքի՝ նախադասության իմաստը կազմված է նրա բաղադրյալների իմաստներից: λ-հաշվարկը թույլ է տալիս բառերին վերագրել ֆունկցիաներ, որոնք միմյանց միանալով` ֆունկցիաների կիրառմամբ կամ β-կրճատում (β-reduction), ձեւավորում են ամբողջական նախադասության իմաստը:
· Բաղադրիչների մոդելավորում:
o Անունները (օրինակ՝ «Արամ») ներկայացվում են որպես հաստատուններ (Արամ):
o Բայերը կամ ածականները (օրինակ՝ «վազում է», «խելացի») ներկայացվում են որպես λ-վերացարկումներ, որոնք արգումենտ են ակնկալում. ( λx.[վազում է(x)]։
o Երբ կազմում ենք «Արամը վազում է» նախադասությունը, տեղի է ունենում ֆունկցիայի կիրառում. λx. [վազում է(x)](Արամ)
· Քվանտորների մշակում: Այնպիսի բարդ բառեր, ինչպիսիք են «ամեն ոք» կամ «ինչ-որ մեկը», իմաստաբանության մեջ ներկայացվում են բարձր կարգի λ-ֆունկցիաների միջոցով, ինչը լուծում է նախադասության մեջ դրանց ազդեցության տիրույթի (scope) խնդիրները:
λ-հաշվարկի կիրառումը ձեւական իմաստաբանության մեջ ցույց է տալիս, որ մարդկային լեզվի մշակումն ըստ էության մաթեմատիկական հաշվարկի ձեւ է։
Իմաստի սահմանում
λ-վերացարկում․ երկու համակարգերում էլ λ-օպերատորը կապակցում է փոփոխականը՝ ֆունկցիայի «բաղադրատոմս» ստեղծելու նպատակով։
λ-հաշվարկում՝ λx. x + 1, նշանակում է ֆունկցիա, որն ընդունում է x մուտքային տվյալը եւ դրան գումարում 1։
Ձեւական իմաստաբանություն՝ λx.ԿԱՏՈՒ(x), նշանակում է ֆունկցիա, որն ընդունում է x էությունը եւ ստուգում, թե արդյոք այն պատկանում է կատուների բազմությանը։ Այլ կերպ ասած λx.ԿԱՏՈՒ(x) ֆունկցիան կվերադարձնի ճիշտ միայն եթե x = «կատու»: Այս հանգամանքը կարելի նաեւ այսպես պատկերել`
[[կատու]] = λx.ԿԱՏՈՒ(x),
ինչը պարզապես արտահայտում է այն փաստը, որ «կատու» բառը նշանակում (denote) է կատու: Այսպիսի նշանակումը թույլ է տալիս ներկայացնել բառակապակցությունն կոմպիլյատորների:ADD, շարակապիչ երը եւ նախադասությունները λ-արտահայտություններով ներկայացնել:
Համեմատական պատկերը
Բնականաբար, λ-հաշվարկի գործածումը տարբերվում է հաշվողական գիտություններում եւ իմաստաբանությունում:
Աղյուսակ Ա.
Բնութագիր | Հաշվողական գիտություններ | Իմաստաբանություն (Լեզվաբանություն) |
Ինչն է ներկայացնում | Հաշվարկելի ալգորիթմներ եւ ֆունկցիաներ | Բնական լեզվի բառերի եւ նախադասությունների իմաստը |
Հիմնական գործողությունը | Ծրագրի կատարում, հաշվարկում (Evaluation / Reduction) | Նախադասության տրամաբանական կառուցվածքի վերարտադրում |
Արգումենտները | Տվյալներ, թվեր, այլ ֆունկցիաներ | Առարկաներ (entities), ճշմարտային արժեքներ, հատկություններ |
Նշագրման փոքր տարբերություններ․ թեեւ մաթեմատիկական հիմքը նույնն է, լեզվաբաններն ու համակարգչային գիտնականներն օգտագործում են կետադրության մի փոքր տարբերվող ոճեր
Աղյուսակ Բ.
Հատկանիշ | λ-հաշվարկ | Ձեւական իմաստաբանություն |
Բաժանիչ | Օգտագործում է կետ (.) կամ բացատ | Օգտագործում է փակագծեր ([ ]); λx [M] կամ λx .M |
Տիպեր | Հաճախ տիպեր չունեն կամ օգտագործում են հիմնական մաթեմատիկական տիպ | Խիստ տիպավորված (օրինակ՝ e էությունների, t ճշմարտային արժեքների համար) |
Արտահանում | Կարող է վերադարձնել թվեր, ֆունկցիաներ կամ նիշեր | Սովորաբար ճշմարտային արժեք (ճիշտ կամ կեղծ) է վերադարձնում. նաեւ ստորոգելի |
Ձեւական իմաստաբանություն
Հիմնական տիպեր
Համակարգչային գիտնականի համար լեզվական հատկացուցիչները հասկանալու ամենադյուրին ճանապարհը Խիստ ստատիկ տիպավորված:
Ավանդական իմաստաբանության մեջ բնական լեզուն արտապատկերվում է տիպավորված լամբդա հաշվարկի վրա: Երկու հիմնական հյուլեական տիպերն են.
· e. Էություններ (անհատներ աշխարհում)
· t. ճշմարտային արժեքներ (բուլյան ճիշտ կամ կեղծ):
Հաճախ գործածվող տիպեր
Ստորեւ բերված աղյուսակում բացի վերոբերյալ տիպերից գործածվում են հետեւյալ նշանակումները`
· ι-օպերատոր՝ որոշյալ նկարագրության օպերատոր։ ιx P(x)-ը նշանակում է «այն միակ x-ը, որի համար P(x)-ը ճշմարիտ է»․ ենթադրվում է այդպիսի անհատի գոյությունն ու եզակիությունը։
· #(x) - x-ի ատոմական բաղադրիչների քանակն է։
· ՏԱԼ(x,y,z) - x-ը տվողն է, y-ը՝ տրվելիքը, z-ը՝ ստացողը։
Աղյուսակ Գ.
# | Տիպ | Իմաստ | Օրինակ |
1 | e | Անհատ | [[Արամ]] = արամ |
2 | t | Նախադասության ճշմարտային արժեք | [[Արամը քնում է]] = ՔՆԵԼ(արամ) |
3 | ⟨e,t⟩ | Միատեղ ստորոգելի՝ հասարակ անուն, ածական կամ անանցողական բայ | [[գիրք]] = λx[ԳԻՐՔ(x)]; [[սեւ]] = λx[ՍԵՒ(x)]; [[քնում է]] = λx[ՔՆԵԼ(x)] |
4 | ⟨e,⟨e,t⟩⟩ | Երկտեղ ստորոգելի՝ անցողական բայ կամ երկտեղ հարաբերություն | [[սիրում է]] = λy.λx[ՍԻՐԵԼ(x,y)] |
5 | ⟨e,⟨e,⟨e,t⟩⟩⟩ | Եռատեղ ստորոգելի՝ երեք մասնակից ունեցող հարաբերություն | [[տալիս է]] = λz.λy.λx[ՏԱԼ(x,y,z)] |
6 | ⟨⟨e,t⟩,⟨e,t⟩⟩ | ստորոգելիական հատկացուցիչ՝ ածականական կամ քանակական որոշչի մեկնաբանությամբ | [[սեւ]] = λP.λx[P(x) ∧ ՍԵՒ(x)]; [[երկու]] = λP.λx[P(x) ∧ #(x)=2] |
7 | ⟨⟨e,t⟩,t⟩ | Ընդհանրացված քանակիչ (generalized quantifier)՝ ստորոգելին ընդունող եւ ճշմարտային արժեք վերադարձնող | [[ամեն կատու]] = λP[∀x(ԿԱՏՈՒ(x) → P(x))] |
8 | ⟨⟨e,t⟩,⟨⟨e,t⟩,t⟩⟩ | Քանակիչ որոշիչ (determiner)՝ երկու ստորոգելի կապող արտահայտություն | [[ամեն]] = λP.λQ[∀x(P(x) → Q(x))]; [[ոչ մի]] = λP.λQ[¬∃x(P(x) ∧ Q(x))] |
9 | ⟨t,t⟩ | Ճշմարտային արժեքի միատեղ գործողություն՝ նախադասական ժխտում | [[ոչ]] = λp[¬p] |
10 | ⟨t,⟨t,t⟩⟩ | Ճշմարտային արժեքների երկտեղ գործողություն՝ նախադասական շաղկապ | [[եւ]] = λp.λq[p ∧ q]; [[կամ]] = λp.λq[p ∨ q]; [[եթե … ապա …]] = λp.λq[p → q] |
11 | ⟨⟨e,t⟩,⟨⟨e,t⟩,⟨e,t⟩⟩⟩ | Երկու ստորոգելի համակցող գործողություն | [[եւ]] = λP.λQ.λx[P(x) ∧ Q(x)] |
12 | ⟨e,e⟩ | Անհատից անհատ անցնող գործառույթ | [[մայրը]] = λx[ιy ՄԱՅՐ(y,x)] |
13 | ⟨⟨e,t⟩,e⟩ | Համապատասխան միակ անհատն ընտրող որոշյալ նկարագրության գործողություն | [[որոշյալությանը]] = λP[ιx P(x)] |
Նշանակումներ եւ օրինակներ
Նշանակումների մանրամասների համար տես (Heim & Kratzer, 1998):
Այստեղ ստորոգման հետ առնչվող բառերը հետեւյալ իմաստներն ունեն`
1. Ստորգյալ` բայ, որը հատկանիշ կամ վիճակ է վերագրում առարկային (ենթակային)
2. Ստորոգելի` հատկանիշ, որը որոշչային (ածականական) իմաստով է արտահայտված
3. Ստորոգելիական խնդիր` վիճակ կամ հատկանիշ, որը առարկայական (գոյանական) իմաստով է արտահայտված
Գրականության մեջ հաճախ ստորոգյալ (predicate) ասելով երբեմն հականում են ստորոգելին կամ ստորոգյալ + ստորոգելի (ստորոգելիական խնդիր) բաղադրությունը: Այստեղ մենք խուսափում ենք նման գործածումներից, սակայն ստորոգելիական խնդրի փոխարեն կօգտագործենք նաեւ ստորոգելի, երբ տարբերակումը կամբարդ է, կամ անհնարին:
Հատկացուցիչների ներկայացումը
Տուն կամ կատու գոյականները առարկաներ (գոյականներ) չեն. դրանք ⟨e, t⟩ տիպի ստորոգելիներ են (ֆունկցիաներ՝ էությունից դեպի ճշմարտային արժեք)։ Հետեւաբար, հատկացուցիչը պարզապես բարձր կարգի ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ ընդունում է ստորոգելիական խնդիր եւ վերադարձնում նոր՝ ձեւափոխված ստորոգելիական խնդիր։ Քանի որ տարբեր հեղինակներ եւ իմաստաբանական համակարգեր (օրինակ՝ Մոնտագյուի դասական համակարգը, նեոդավիդսոնյան իրադարձությունների իմաստաբանությունը եւ ընդհանրացված քանակիչների տեսությունը) տարբեր կերպ են մեկնաբանում այս հատկացուցիչները, դրանց ձեւական ներկայացումները նույնպես տարբերվում են։
Բացարձակ թվականների ներկայացումը որպես ստորոգելիական հատկացուցիչ (տե՛ս Հաճախ գործածվող տիպեր աղյուսակի 6-րդ տողը)` ⟨⟨e,t⟩,⟨e,t⟩⟩ տիպի հատկացուցիչի արգումենտը xNP տեսակի է, որտեղ x-ը բազմապատկում կամ հոգնակիացում է նշանակում: Եթե NP = գիրք, ապա xNP = գրքեր։
Օրինակ՝ «երկու գիրք» արտահայտության մեջ երկու-ն ընդունում է անվանական ստորգելի՝ գիրք, որպես մուտք եւ վերադարձնում է նոր անվանական ստորգելի՝ «երկու գիրք»։ երկու-ն կարելի ներկայացնել որպես
⟦երկու⟧ = λP.λX [P*(X) ∧ |X| = 2],
որտեղ բանաձեւի մասերը հետեւյալ իմաստներն ունեն.
Աղյուսակ Դ.
Նշան | Իմաստ |
⟦երկու⟧ | «երկու» բառի իմաստային նշանակությունը կամ դենոտացիան |
= | «սահմանվում է որպես» |
λ | ֆունկցիա |
P | Անվանական ստորոգելի, օրինակ՝ կատու, գրքեր, հետաքրքիր գրքեր, ևն |
λX | ֆունկցիա, որի մուտքին X-ն է տրվում |
P*(X) | X-ը բազմություն է, որը կազմված է P մեկ կամ ավելի էություններից |
∧ | Տրամաբանական և օպերատորը |
|X| | X-ի հզորությունը կամ կարդինալությունը` քանի անհատի մասին խոսքը X-ում |
|X| = 2 | X բազմությունը պարունակում է ճիշտ երկու անդամ |
Բանաձեւը մեկ նախադասությամբ կարելի է կարդալ այսպես. «երկու»-ի իմաստը ֆունկցիա է, որը ընդունում է P անվանական ստորոգելիական խնդիր եւ վերադարձնում է այնպիսի ստորոգելիական խնդիր, որը կազմված է P-ին համապատասխանող ճիշտ երկու անհատից։
Եթե P-ի փոխարեն տեղադրենք գրքեր , կստանանք.
⟦գրքեր⟧ = λX [գիրք*(X)]
⟦երկու գիրք⟧ = λX [գիրք*(X) ∧ |X| = 2]
Բառակապակցությունների իմաստի հաշվարկում
Բառակապակցությունների եւ նախադասությունների իմաստը ներկայացվում է նման ֆունկցիաների կոնյունկտիվ համակցումներով, քանի որ սովորաբար լրացումները նեղացնում, մասնավորեցնում են բառակապակցության գլխավոր բառի իմաստը:
Ածականական հատկացուցիչ
Բաղադրականության սկզբունքի հիման վրա հատողական որոշչային կապակցությունները, օրինակ` «սեւ կատու» բառակապակցությունը ձեւական իմաստաբանության մեջ սովորաբար ներկայացվում են այսպես՝
⟦սեւ կատու⟧ = λx.[ ՍԵՒ (x) ∧ ԿԱՏՈՒ(x)]
Բանաձեւը մեկնաբանվում է հետեւյալ կերպով` «սեւ կատու»-ն նշանակում է մի բան, ուրի համար ե՛ւ λx.ԿԱՏՈՒ(x), ե՛ւ λx.ՍԵՒ(x) ֆունկցիաների արժեքները «ճիշտ» են: Այս բանաձեւը սահմանում է մի նոր տեսակ, մի նոր դաս-հասկացություն (Hayrapetyan, 2025): Այն ցույց է տալիս, որ -ը կատու է եւ սեւ է, սակայն չի արտահայտում առարկա–հատկանիշ իմաստային ասիմետրիան. կատու-ն բնութագրվող առարկայի տեսակն է, իսկ սեւ-ը՝ նրան վերագրվող հատկանիշը։ Կոնյունկցիայի անդամները փոխատեղելի են[1], ուստի բանաձեւից հնարավոր չէ որոշել, թե բաղադրիչներից որն է ներկայացնում առարկան, իսկ որը՝ նրա հատկանիշը։ Ձեւականորեն ճիշտ արտահայտելով սեւ կատու-ներ դասի տրամաբանական իմաստը, այն չի արտահայտում այն հանգամանքը, որ մարդիկ սեւ կատու-ն ընկալում են որպես կատվի տեսակ, այլ ոչ թե սեւի: Եթե ձեւական տրամաբանաության համար այս տարբերակումը կարեվոր չէ, ապա իմաստ կոդավորող բանաձեւերի համար սա պետք է որ կարեվոր լինի: Բանական խոսքի իմաստը ճիշտ կոդավորելու համար կարեվոր է` կատուն է սեւ, թե սեւն է կատու. արտահայտության որ անդամն է գլխավորը, իսկ որն է երկրորդական:
Այս անհամարժեքությունը հաշվի առնելու համար առաջարկվել է ստորոգելի-հատկացուցիչ (predicate-modifier) վերլուծությունը․ «սեւ»-ը ներկայացվում է որպես λP(x)⟨e,t⟩ λx[P(x) ∧ ՍԵՒ(x)]՝ որպես արգումենտ ընդունելով ստորոգելիական խնդիրը եւ այդպիսով կառուցման ընթացքում պահպանելով գլխավոր անդամի եւ լրացման միջեւ անհամարժեքությունը, թեեւ λ-կրճատումը վերականգվում է սիմետրիկ կոնյունկցիան (Morzycki, 2015)։
Մի այլ մոտեցում է կախյալ-տիպ (dependent-type) վերլուծությունը (Chatzikyriakidis and Luo, 2017): Առաջարկվում է ավելի էական տարբերակում․ հասարակ անունները մեկնաբանվում են որպես տիպեր, իսկ ածականով որոշված անունները՝ որպես կախյալ տիպեր. «կատու»-ն ներկայացվում է որպես տիպ, իսկ «սեւ»-ը՝ որպես դրա տարրերի վրա սահմանված ստորոգելի՝ ձեւավորելով Σx: ԿԱՏՈՒ.ՍԵՒ (x) կառույցը, որի դեպքում անվանական դասակարգումը եւ ածականական հատկորոշումը ձեռք են բերում ձեւականորեն տարբեր դերեր ։
Այս երկուսից ստորոգելի-հատկացուցիչ մոտեցումը, որպես Մոնտագյուի ոճի ավելի վստահելի վերլուծություն, ավելի մեծ տարածում է գտել ձեւական իմաստաբանության մեջ, մինչդեռ կախյալ-տիպ միջոցով իրականացվող ձեւափոխությունը պատկանում է հետազոտական ավելի մասնագիտացված ավանդույթի․ այնուամենայնիվ, ⟨e,t⟩ տիպի երկու արտահայտությունների կիրառմամբ ստորոգելիական ձեւափոխությունը նույնպես մնում է հատվող ածականական իմաստների վերլուծության ընդունված եղանակ։
Սիմետրիկ բանաձեւում ՍԵՒ(x) ֆունկցիան, այնուամենայնիվ, համարվում է ածականական հատկացուցիչ (adjective modifier) ԿԱՏՈՒ(x) հատկացյալի համար:
Քանակական հատկացուցիչ` ասիմետրիկ վերլուծություն
Թվականները ընդունված է վերլուծել որպես ածականանման հատկացուցիչներ կամ ստորոգելիական, քանակական հատկացուցիչներ (quantitative modifier)։ Ածականական հատկացուցիչի կաղապարը թվականներին կիրարելիս բառակապակցության իմաստը նույնպես ներկայացվում է որպես երկու ստորոգելիական ֆունկցիաների` հոգնակի եւ քանակական ստորոգելիների կոնյունկտիվ հատում: Սակայն հոգնակիությունը դիտարկվում է ոչ թե որպես պարզունակ λx.ԿԱՏՈՒՆԵՐ(x), այլ որպես λx. ԿԱՏՈՒ*(x) ֆունկցիա: Եթե կատուներ բազմությունը ընդգրկում է անհատ կատուներ, ապա -օպերատորի կիրառումը` ԿԱՏՈՒ, սահմանում է մի հոգնակիություն, որի ընդլայնումը պարունակում է բոլոր անհատ կատուներին, ինչպես նաեւ երկու, երեք, ..., անսահմանափակ քանակությամբ անհատների գումարները (Link, 1983): Մի որեւէ P հոգնակիության ճշգրիտ n քանակի սխեմատիկ ներկայացումն է՝ [[n]] = λP.λx[P(x) ∧ #(x)=n], որտեղ #(x)-ը ատոմների քանակն է։ Այսպիսով երկու կատու-ի իմաստը ներայացվում է որպես`
⟦երկու կատու⟧ = λx[#(x)=2 ∧ ԿԱՏՈՒ*(x)]
Այս բանաձեւում #(x)-ը մեկնաբանվում է հատկացուցիչ, որով ԿԱՏՈՒ* ֆունկցիայի ընդլայնումից ընտրվում է կատուների այն ատոմային գումարը, որը հատկանշվում է երկուս-ով: Այդ առումով, երկուս-ը չի տարբերվում ածականական հատկացուցիչ:
Տրոհման (partitioning) վրա հիմնված տարբերակը (Ionin & Matushansky 2006) կստանա այս տեսքը՝
λP.λx.∃S[PART(S,x) ∧ ∣S∣=2 ∧ ∀s∈S P(s)]
Այստեղ S-ը x-ի տրոհումն է երկու չհատվող մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրը բավարարում է P-ին ։
Մեկնաբանություն. երկու-ն ընդունում է P ստորոգելիական խնդիրը եւ վերադարձնում ստորոգելիական խնդիր, որը ճշմարիտ է X հոգնակի էության համար, եթե X-ը կարելի է բաժանել ճիշտ երկու չհատվող էությունների, որոնցից յուրաքանչյուրը բավարարում է P-ին։
Ի տարբերություն թվականի այլ մեկնաբանումների, այստեղ այն ստորոգելիական հատկացուցիչի տեսակ է՝ ֆունկցիա, որը որպես մուտք ընդունում է ստորոգելիական խնդիր եւ վերադարձնում մեկ այլ ստորոգելիական խնդիր` <<e,t>,<e,t>>:
Մի այլ տարբերակում (Rothstein, 2012) քանակական երկու-ն նույնպես մեկնաբանվում է որպես , իսկ երկու կատու-ն որպես`
λx[ԿԱՏՈՒՆԵՐ(x) ∧ #(x)=2]
Այս վերլուծության մեջ, չնայած կոնյունկցիայի եզրերի սիմետրիայի, բաղադրիչները համազոր չեն․ կատուներ-ը անվանական գլխաբառն է, բառակապակցության գլխավոր անդամը, իսկ երկու-ն՝ դրա քանակական հատկացուցիչը։
Բաղադրիչների դերերն այստեղ իմաստային առումով տարբերակված են․ անվանական ստորոգելին սահմանում է բնութագրվող ամբողջության տիրույթը, իսկ թվականը սահմանափակում է այն ըստ քանակի։ Սակայն այդ ասիմետրիկ մեկնաբանությունը վերջնական բանաձեւի կոնյունկցիայից չի բխում․ բանաձեւում երկու պայմանները համարժեք են:
Քանակական հատկացուցիչ` համարժեք ստորոգելիների վերլուծություն
Առաջարկվող այլընտրանքում երկու-ն եւ կատու-ն մեկնաբանվում են որպես իմաստային առումով համարժեք գոյական-ստորոգելիներ․ առաջինը ներկայացնում է վերացական թվային առարկան, երկրորդը՝ իրական առարկաների տեսակը։ Ի տարբերություն ածականական հատկացուցիչի բանաձեւի սիմետրիա, այստեղ սիմետրիան ոչ թե հանդուրժելի է, այլ պարտադիր: «Համարժեք» լինելը նշանակում է նկարագրության մեջ հավասար կարգավիճակ ունենալը։ Դրանցից մեկը մյուսի հատկանիշը չէ․ երկուսն էլ բնութագրում են միեւնույն հավաքական ամբողջությունը՝ համապատասխանաբար քանակի եւ բաղադրիչների տեսակի առումով։
Պայմանների մակարդակում այս մեկնաբանությունը ներկայացվում է նույն բանաձեւով՝
λx[ԿԱՏՈՒՆԵՐ(x) ∧ #(x)=2]
Նախորդ (Rothstein, 2012) վերլուծությունից տարբերությունը, հետեւաբար, ոչ թե բանաձեւն է, այլ դրա իմաստային մեկնաբանությունը․ այնտեղ տարբերակվում են բնութագրվող տիրույթն ու դրա քանակական սահմանափակումը, իսկ այստեղ՝ հավաքական ամբողջության երկու համարժեք հատկանիշներ։ Սեւ կատու-ի դեպքում փոխատեղելի եզրերով բանաձեւը չի արտահայտում առարկա–հատկանիշ ասիմետրիան, մինչդեռ երկու կատու-ի դեպքում այն ճշգրտորեն արտահայտում է եզրերի համարժեքությանը։ Այսպիսով, բանաձեւը արտապատկերում է «վերացական հասկացություն + իրական հասկացություն (առարկաների տեսակ)» անվանական նոր ստորոգելիի կառուցվածքը: Բանաձեւի երկու բաղադրիչներն էլ` ե՛ւ ԿԱՏՈՒՆԵՐ(x), ե՛ւ #(x), մեկնաբանվում են որպես համարժեք գոյականական ստորոգելիներ (ստորոգելիական խնդիրներ):
α-փոխակերպում
α-փոխակերպման (α-conversion) կամ փոփոխականի վերանվանման կանոնը թույլ է տալիս վերանվանել ֆունկցիայի ներսում գտնվող կապակցված փոփոխականը (արգումենտը)՝ առանց փոխելու ֆունկցիայի կառուցվածքային իմաստը կամ վարքագիծը։ Մաթեմատիկական տեսանկյունից՝ f(x) = x + 1 եւ f(y) = y + 1 ֆունկցիաները լիովին նույնական են։
Ձեւականորեն փոխակերպումը կարելի է λx. x ➔ λy. y բանաձեւով ներկայացնել: Ծրագրավորման օրինակ (Python-ի անանուն ֆունկցիա)՝ lambda x: x + 1-ը նույնական է lambda y: y + 1-ին։ Նմանապես` λx.ՏՂԱՄԱՐԴ(x) → λy.ՏՂԱՄԱՐԴ(y):
Համակարգչային գիտության եւ ձեւական իմաստաբանության մեջ α-փոխակերպումը կենսական նշանակություն ունի «փոփոխականի գերեվարումը[2]» (variable capture) կանխելու համար. վերջինս տեղի է ունենում, երբ տարբեր տիրույթներից (scopes) նույնական անուններով փոփոխականներ պատահաբար համընկնում են՝ առաջացնելով տրամաբանական հակասություններ վերլուծման ընթացքում։
Ազատ եւ կապակցված փոփոխականներ
Դիտարկենք ∃y [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (y,x)] բանաձեւը: Այստեղ՝
y-ը կապակցված է, որովհետեւ ∃y-ը իր ազդեցության տիրույթում սահմանում է y-ի արժեքը։
-ը ազատ է, որովհետեւ դրա արժեքը պետք է տրվի վերագրման մի որեւէ g գործառույթով կամ ավելի լայն համատեքստում կապակցող օպերատորով։
Հետեւաբար, g-ի նկատմամբ այս բանաձեւն ասում է. «Գոյություն ունի որեւէ անհատ, որը հիանում է g(x)-ով»։
Կապակցված փոփոխականների անունները ինքնին իմաստային նշանակություն չունեն։ Հետեւյալ երկու բանաձեւերը, որ ստացված են α-վերանվանմամբ, համարժեք են`
∃y [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (y,x)] ≡ᵅ ∃z [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (z,x)]
Տարբեր է միայն այն տեղային անունը, որով գոյաբանական քվանտորը նշում է իր կապակցված փոփոխականը։
Սակայն ազատ -ը -ով վերանվանելը միշտ չէ որ անվտանգ է․ այդ քայլը կարող է փոխել վերագրման արժեքը կամ կարող է -ը դնել արդեն առկա կապակցողի ազդեցության տակ։
Փոփոխականի գերեվարում
Փոփոխականի գերեվարման խնդիրն առաջանում է այն ժամանակ, երբ մի փոփոխական, որը փոխարինման գործողությունից առաջ ազատ էր, ընկնում է կապող օպերատորի ազդեցության տիրույթ եւ այդպիսով դառնում կապկցված։ Արդյունքում փոխվում է փոփոխականի տվյալ գործածությունը. ուստի կարող են փոխվել նաեւ բանաձեւի ճշմարտային պայմանները։
Ձեւական իմաստաբանության մեջ կապող օպերատորներ են, օրինակ, քվանտորները՝ ∀ (բոլոր) եւ ∃ (գոյություն ունի) , λ-վերացարկոմը, ինչպես նաեւ բնական լեզվի իմաստաբանական ներկայացումներում քվանտորային արտահայտությունները եւ փոփոխական կապող դեր ունեցող դերանունները։ Խնդրից խուսափելու համար փոխարինումը պետք է լինի գերեվարումից զերծ (capture-avoiding), ինչը սովորաբար ապահովվում է α-վերանվանմամբ։
Գերեվարման հիմնական խնդիրը
Ենթադրենք, որ ուզում ենք -ի ազատ գործածությունները փոխարինել -ով հետեւյալ բանաձեւում․
φ(x) = ∃y [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (y,x)]
Միամիտ՝ զուտ տեքստային փոխարինումը կտա․
∃y [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (y,y)]
Սխալի պատճառը այն է, որ x-ի փոխարեն ներմուծված y-ը պետք է, որպես ազատ փոփոխական, իր արժեքը ստանար g(y)-ից։ Բայց արդեն առկա ∃y-ն այն գերեվարել էր։ Համեմատենք իմաստները հետեւյալ աղյուսակում`
Աղյուսակ Ե.
Արտահայտություն | Հնարավոր մեկնաբանություն |
∃y [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (y,x)] | Որեւէ մեկը հիանում է վերագրման միջոցով տրված g(x) անհատով |
x:=y փոխարինման նախատեսված արդյունքը՝ ∃z [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (z,x)] | Որեւէ մեկը հիանում է g(y) անհատով |
Միամիտ արդյունքը՝ ∃y [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (y,y)] | Որեւէ մեկը հիանում է ինքն իրենով |
Ճիշտ ընթացակարգը նախ ներքին, կապկցված y-ի α-վերանվանումն է․
∃y [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (y,x)] ≡ᵅ ∃z [ՀԻԱՆՈՒՄ Է (z,x)] ⟹ (x:=y) ∃z[ՀԻԱՆՈՒՄ Է (z,y)]
Այս քայլի նպատակը ոչ թե ձեւական «կարգուկանոնն» է, այլ այն, որ փոխարինման արդյունքում ներմուծված փոփոխականը պահպանի իր ազատ կարգավիճակը։
Օրինակ λ-հաշվարկից
Ենթադրենք սահմանված է մասշտաբավորման ինչ-որ մեկը սահմանում է՝
Scale := λa.λx.a⋅x.
որտեղ x-ը նշանակում է «թիվ, որը պետք է բազմապատկվի»։ Մեկ այլ բանաձեւով սահմանվում են կոորդինատները՝
G(x,y) := (scale x)y,
ինչը նշանակում է՝ «որպես բազմապատկիչ օգտագործիր հորիզոնական x կոորդինատը, ապա ստացված ֆունկցիան կիրառիր ուղղահայաց y կոորդինատի նկատմամբ»։ Ակնկալվող արդյունքն է՝ G(x,y) = x⋅y: scale-ի սահմանումը բացելով ստանում ենք՝
G(x,y)=((λa.λx.a⋅x)x)y.
Նույն x անվան կրկնությունը այստեղ առաջանում է երկու անկախորեն գրված արտահայտությունների միավորումից, այլ ոչ թե որեւէ մաթեմատիկական պահանջից, ըստ որի՝ դրանց փոփոխականները պետք է նույն անունն ունենան։ Ներքին λx-ը չի կապում իր տիրույթից դուրս գտնվող x արգումենտը։ Հենց այդ արգումենտը տեղադրելիս պետք է կանխել «գրավարումը»։
Ներքին պարամետրը վերանվանելով ստանում ենք՝
G(x,y) =((λa.λt.a⋅t)x)y ⟶β (λt.x⋅t)y ⟶β x⋅y.
Առանց այդ նախազգուշական քայլի, պարզունակ տեղադրումը կտար հետեւյալ արդյունքին՝ (λx.x⋅x)y⟶β y⋅y, ինչի հետեւանքով հորիզոնական կոորդինատից կախվածությունը լիովին կկորչի։
Եթե ամբողջ օրինակը նույն մարդն է գրում, ապա նա կարող է ընտրել այնպիսի անուններ, որոնք չեն բախվում։ Սակայն արդեն իսկ որոշակի իմաստ ունեցող ազատ x-ը z-ով փոխարինելը ինքնին α-փոխակերպում չի. ազատ փոփոխականների անունները ցույց են տալիս արտաքին կախվածությունները, եւ դրանց փոփոխումը կարող է փոխել այն, թե ինչին է հղում արտահայտությունը։ Ֆունկցիայի կապված պարամետրի վերանվանումն անվտանգ է, քանի որ դրա անունը լոկալ է եւ կամայական։
Օրինակ իմաստաբանությունից
Խնդիրն առաջանում է ամեն անգամ, երբ բաղադրող կանոնը փոփոխական պարունակող արտահայտություն է ներմուծում քվանտորի կամ λ-կապողի ազդեցության տիրույթ։
Օրինակ, «Յուրաքանչյուր ուսանող հիանում է ինչ-որ մեկով» նախադասությունը կարելի է մոտավորապես ներկայացնել այսպես․
∀x[ՈՒՍԱՆՈՂ (x) → ∃y ՀԻԱՆՈՒՄ Է (x,y)]
Ենթադրենք, որեւէ ածանցական գործողություն պետք է ազատ y փոփոխական ներմուծի ∃y-ի ազդեցության տիրույթ։ Եթե գոյաբանական քվանտորի կապկցված փոփոխականը նախապես չվերանվանվի, ազատ y-ը կընկնի գոյաբանական քվանտորից կախվածության մեջ։ Այսպիսով՝ այն, ինչ պետք է հղվեր համատեքստով որոշվող անհատին, կվերածվի «որեւէ մեկի» փոփոխականի։
Սա վճռական նշանակություն ունի հատկապես հետեւյալ ոլորտներում․
Դերանունների կապում․ տվյալ նախադասային անդամ դերանունը ազատ, ցուցական կամ դիսկուրսային դերանունից տարբերակելու համար։
Քվանտորների ծավալ․ որպեսզի LF-տեղաշարժը, աբստրակցիան եւ վերակառուցումը պահպանեն նախատեսված կախվածությունները։
Հարաբերական եւ հարցական կառուցվածքներ․ որտեղ աբստրակցիան ներմուծում է λ-արտահայտություններ եւ հետքի փոփոխականներ։
Դինամիկ իմաստաբանություն․ որտեղ վերագրման գործառույթները, դիսկուրսային ռեֆերենտները եւ վերագրման թարմացումները փոփոխականների ազատ/կապկցված տարբերակումը դարձնում են առավել ակնառու։
Օրինակ՝ համեմատենք․
∀x[ՈՒՍԱՆՈՂ (x) → ՍԻՐՈՒՄ Է (x,x)]
եւ
∀x[ՈՒՍԱՆՈՂ (x) → ՍԻՐՈՒՄ Է (x,y)]
Առաջինը արտահայտում է կապկցված փոփոխականի համատարբերական ընթերցում․ յուրաքանչյուր ուսանող սիրում է ինքն իրեն։ Երկրորդը նշանակում է, որ յուրաքանչյուր ուսանող սիրում է միեւնույն՝ g(y)-ով տրված անհատին։ Եթե այդ ազատ – y-ը պատահմամբ մտնի ∀y-ի կամ ∃y-ի ազդեցության տիրույթ, մեկնաբանությունը արմատապես կփոխվի։
Ձեւական պայմանը եւ լուծումը
Փոխարինումը՝ φ[x:=t], անվտանգ է միայն այն դեպքում, եթե փոխարինվող t արտահայտության ոչ մի ազատ փոփոխական φ-ում փոխարինման տեղում չի հայտնվում որեւէ կապակցողի ազդեցության տակ։ Այլ կերպ՝ -ն պետք է լինի x-ի փոխարեն ազատորեն տեղադրվող արտահայտություն φ-ում։
Եթե պայմանը չի կատարվում, պետք է․
Գտնել այն կապող օպերատորները, որոնց ազդեցության տիրույթում գտնվում են փոխարինվելիք -ի գործածությունները։
Ստուգել, արդյոք դրանց կապկցված փոփոխականների անունները ազատ են փոխարինման համար ներմուծվող արտահայտության մեջ։
Յուրաքանչյուր բախվող կապկցված փոփոխական վերանվանել թարմ փոփոխականով։
Միայն հետո կատարել փոխարինումը։
Օրինակ՝ (∃y P(x,y))[x:=y] չի կարելի անմիջապես դարձնել՝ ∃y P(x,y), քանի որ ներմուծվող -ը կլանվում է ∃y-ի կողմից։ Ճիշտ ընթացքն է․
∃y P(x,y) ≡ᵅ ∃z P(x,z)
եւ ապա՝
(∃y P(x,y))[x:=y]=∃z P(y,z)
Ամփոփելով՝ α-վերանվանումը թույլատրելի է, որովհետեւ կապկցված փոփոխականի կոնկրետ անունը իմաստային դեր չունի։ Գերեվարումը, ընդհակառակը, անթույլատրելի է, որովհետեւ փոխում է կապման կառուցվածքը․ մի գործածություն, որի արժեքը պետք է գար արտաքին վերագրումից կամ համատեքստից, դառնում է տեղային կապողի կողմից վերահսկվող գործածություն։
β-կրճատում
β-կրճատումը (β-reduction) λ-հաշվարկի հիմնական հաշվողական քայլն է, որը ներկայացնում է ծրագրի կատարումը կամ ֆունկցիայի հաշվարկումը։ Ըստ էության դա պարզապես ֆունկցիայի կիրառումն է` արտահայտության մասը կազմող ֆունկցիան փոխարինել նրա ելքային արժեքով տվյալ մուտքային արժեքի համար: Բնական լեզվի իմաստաբանության մեջ β-կրճատումը դինամիկ կերպով մոդելավորում է իմաստի կազմավորումը (Ֆրեգեի բաղադրյալության սկզբունքը)՝ թույլ տալով պրեդիկատներին կամ բայերին «սպառել» (կլանել) իրենց ենթականերին՝ ամբողջական տրամաբանական պնդում կառուցելու համար։
Ծրագրավորման ոլորտի β-կրճատմքան օրինակ է (λx. x + 5) 3 ➔ 3 + 5 = 8 բանաձեւը, որը մեկնաբանվում է այսպես` λx. x + 5 ֆունկցիան կարելի է փոխարինել 8-ով, եթե մուտքային արժեքը 3 է, այսինքն երբ x = 3:
Ձեւական իմաստաբանությունն օգտագործում է հենց այս մաթեմատիկական գործողությունը՝ առանձին բառերից նախադասության իմաստը հաշվարկելու համար։
Պատկերացրեք «Լեոպոլդ» ենթական եւ «կատու» ստորոգյալը (որն այստեղ օգտագործվում է որպես անանցողական բայական արտահայտություն, օրինակ՝ «կատու է») միավորել
1 Արտահայտություն՝ ֆունկցիան կիրառում եք արգումենտի նկատմամբ՝ (λx. ԿԱՏՈՒ(x))(Լեոպոլդ)։
2 β-կրճատում՝ λ-հաշվարկում կապակցված փոփոխականի (x) յուրաքանչյուր հանդիպումը փոխարինում եք արգումենտով (Լեոպոլդ) եւ հեռացնում λ-նախածանցը։
3 Արդյունք՝ ԿԱՏՈՒ(Լեոպոլդ)։
Ահա «Երկու կարմիր տուն այրվեց» նախադասության համար β-կրճատման քայլ առ քայլ հաջորդականությունը՝ ստանդարտ պարզ տեքստի։ Թվականի համար մենք կօգտագործենք Ընդհանրացված քանակիչների տեսությունը (Generalized Quantifier Theory), իսկ ածականի համար՝ հատումային ձեւափոխումը (intersective modification)։
Բառացանկ (բառերի սահմանումներ)․
· « տուն » ≝ λx [ ՏՈՒՆ (x) ]
· « կարմիր » ≝ λP λy [ P(y) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (y) ]
· « երկու » ≝ λR λQ [ |{ z : R(z) ∧ Q(z) }| ≥ 2 ]
· " այրվեց " ≝ λw [ ԱՅՐՎԵՑ (w) ]
Աստիճանական ածանցում.
Քայլ 1. Միավորել ածականն ու գոյականը («կարմիր տուն»). «կարմիր» ֆունկցիան կիրառում ենք «տուն» արգումենտի նկատմամբ։
· Արտահայտություն՝ (λP λy [ P(y) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (y) ]) (λx [ ՏՈՒՆ (x) ])։
· β-կրճատում. P փոփոխականի փոխարեն տեղադրել (λx [ ՏՈՒՆ (x) ]) արգումենտը։
· Միջանկյալ արդյունք՝ λy [ (λx [ ՏՈՒՆ (x) ])(y) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (y) ]։
· Ներքին β-կրճատում. հաշվարկել (λx [ ՏՈՒՆ (x) ])(y)-ը՝ x-ի փոխարեն տեղադրելով y։
Արդյունք 1՝ λy [ ՏՈՒՆ (y) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (y) ]։
Քայլ 2. Թվային հատկացուցիչը միավորել անվանական խմբի հետ («Երկու կարմիր տուն »). «Երկու» ֆունկցիան կիրառում ենք նոր հաշվարկված « կարմիր տուն » ստորոգման նկատմամբ։
· Արտահայտություն՝ (λR λQ [ |{ z : R(z) ∧ Q(z) }| ≥ 2 ]) (λy [ ՏՈՒՆ (y) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (y) ])։
· β-կրճատում. R փոփոխականի փոխարեն տեղադրել (λy [ ՏՈՒՆ (y) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (y) ]) արգումենտը։
· Արդյունք 2՝ λQ [ |{ z : (λy [ ՏՈՒՆ (y) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (y) ])(z) ∧ Q(z) }| ≥ 2 ]։
· Ներքին β-կրճատում. հաշվարկել (λy [ ՏՈՒՆ (y) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (y) ])(z)-ը՝ y-ի փոխարեն տեղադրելով z։
· Անվանական խմբի (NP) վերջնական իմաստը՝ λQ [ |{ z : ՏՈՒՆ (z) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (z) ∧ Q(z) }| ≥ 2 ]
Քայլ 3. Միավորել գոյականական խումբը բայական խմբի հետ («Երկու կարմիր տուն այրվեց»)։ Մենք կիրառում ենք ձեւավորված ենթակայական խմբի ֆունկցիան «այրվեց» (burned) բայական խմբի արգումենտի նկատմամբ։
· Արտահայտություն՝ (λQ [ |{ z : ՏՈՒՆ (z) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (z) ∧ Q(z) }| ≥ 2 ]) (λw [ ԱՅՐՎԵՑ (w) ])։
· β-կրճատում ՝ Q փոփոխականի փոխարեն տեղադրել (λw [ ԱՅՐՎԵՑ (w) ]) արգումենտը։
· Միջանկյալ տեսք՝ |{ z : ՏՈՒՆ (z) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (z) ∧ (λw [ ԱՅՐՎԵՑ (w) ])(z) }| ≥ 2։
· Ներքին β-կրճատում ՝ հաշվարկել (λw [ ԱՅՐՎԵՑ (w) ]) `(z)-ը՝ w-ի փոխարեն տեղադրելով z-ը։
· Նախադասության վերջնական իմաստը՝ |{ z : ՏՈՒՆ (z) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (z) ∧ ԱՅՐՎԵՑ (z) }| ≥ 2։
Վերջնական հաշվարկի արդյունքը՝ նախադասության վերջնական հաշվարկված արդյունքը բուլյան ճշմարտության արժեք արտահայտող պնդում է՝ |{ z : ՏՈՒՆ (z) ∧ ԿԱՐՄԻՐ (z) ∧ ԱՅՐՎԵՑ (z) }| ≥ 2 (Թարգմանություն՝ Այն օբյեկտների բազմության հզորությունը, որոնք միաժամանակ տուն են, կարմիր են եւ այրված, մեծ է կամ հավասար երկուսին)։
β-կրճատման մի այլ կիրառում: «Արամը երջանիկ է» նախադասության իմաստը կազմելու համար «երջանիկ է»-ի ստորոգելիական ֆունկցիան (λx. [ԵՐՋԱՆԻԿ Է (x)]) կիրառվում է «Արամ» անհատական օբյեկտի նկատմամբ՝ (λx. [ԵՐՋԱՆԻԿ Է (x)]) (արամ) ➔ ԵՐՋԱՆԻԿ Է (արամ)։ Այս կրճատումը հանգեցնում է ճշմարտային ստատիկ արժեքի, որը ցույց է տալիս, որ Արամն օժտված է երջանիկ լինելու հատկությամբ։
Աղբյուրներ
Chatzikyriakidis S. and Luo Z., Adjectival and adverbial modification: The view from modern type theories. Journal of Logic, Language and Information, vol. 26, no. 1, pp. 45–88, 2017
Hayrapetyan A. (2025) Conjunctions in Eastern Armenian.
Ionin T., Matushansky O. The Composition of Complex Cardinals. Journal of Semantics 23, no. 4 (2006): 315–360. https://doi.org/10.1093/jos/ffl006
Janssen, T.M.V. and Zimmermann T.E., Montague Semantics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2025 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.),
Link, G. (1983). The Logical Analysis of Plurals and Mass Terms: A Lattice-Theoretical Approach. In Rainer Bäuerle, Christoph Schwarze & Arnim von Stechow (eds.), Meaning, Use, and Interpretation of Language, 302–323. Berlin/New York: de Gruyter.
Montague R. Universal grammar. Theoria 36 (1970), 373–398. (reprinted in Thomason, 1974)
Montague R. English as a Formal Language. In: Bruno Visentini (ed.): Linguaggi nella società e nella tecnica. Mailand 1970, 189–223. (reprinted in Thomason, 1974)
Montague R. The Proper Treatment of Quantification in Ordinary English. In: Jaakko Hintikka, Julius Moravcsik, Patrick Suppes (eds.): Approaches to Natural Language. Dordrecht 1973, 221–242. (reprinted in Thomason, 1974)
Morzycki, M. Modification. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2015
Rothstein S., Numericals: Counting, measuring and classifying, in Proc. Sinn und Bedeutung 16, 2012, pp. 527–543.
Ամենանոր տարբերակը
[1] Սա միշտ ճիշտ է տրամաբանության եւ λ-հաշվարկի շրջանակներում, բայց ոչ բնական լեզուներում (Hayrapetyan, 2025)
[2] Chrome-AI-ի թարգմանությունն է: GoogleTranslate շատ ավելի բանալ` զավթում, թարգմանությունը տվեց, իսկ Perplexity-ն` կլանում:
Comments